 |
Воскресенье
03.08.2025
15:44 |
|
|
|
Приветствую Вас Гость | RSS
Главная | Регистрация | Вход |
| Дистанционная помощь по математике |
|
Числа Фибоначчи и Золотое Сечение
| |
| ecc | Дата: Понедельник, 08.08.2011, 19:37 | Сообщение # 1 |
 Ранг 6
Группа: Администраторы
Сообщений: 76
Награды: 0
Репутация: 9
Статус: Offline
| Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Фибоначчи. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только лишь как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой "задачи о размножении кроликов". Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.
Сущность своей "задачи о размножении кроликов" Фибоначчи сформулировал предельно просто:
"Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?"
Изучая последовательности чисел, обозначающих количество пар кроликов, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности, начиная с некоторого номера, равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:
Fn = Fn-1 + Fn-2.
Такая формула называется рекуррентной формулой.
В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... (Иногда ещё указывают нулевой член последовательности - 0)
Если в ряду чисел Фибоначчи взять отношение последущего члена к предыдущему или наоборот, то получим уже знакомые нам числа: 1,618 и 0,618. Причем, чем больше порядковые номера членов, тем точнее выполняется "золотое" соотношение.
|
| |
| |
| ecc | Дата: Понедельник, 08.08.2011, 19:45 | Сообщение # 2 |
|
Ранг 6
Группа: Администраторы
Сообщений: 76
Награды: 0
Репутация: 9
Статус: Offline
| А что такое "золотое" сечение, и почему оно "золотое"?
Это число, отражающее отношение частей отрезка. Подсчитаем это число.
Возьмём отрезок единичный длины АВ. Точкой С разобьём его на две части так, чтобы большая часть (пусть это будет АС) относилась к меньшей (СВ) также, как и весь отрезок относится к большей части (АС).
АС/СВ=1/АС или АС/(1-АС)=1/АС.
Домножим обе части уравнения на АС*(1-АС).
AC^2=1-AC или АС^2+АС-1=0.
Решая этот квадратный трёхчлен получаем корни АС=(-1+√5)/2 и АС=(-1-√5)/2. Так как отрезок не может принимать отрицательную длину, нам подходит только первый корень (-1+√5)/2 это примерно равно 0,618... Обозначим это число f.
Золотое сечение принято обозначать заглавной буквой F. И вычисляется оно как отношение всего отрезка (1) к большей части ((-1+√5)/2). После нетрудных преобразований найдём выражение для F=(1+√5)/2=1,618...
Для этих чисел существует множество интересных соотношений:
f=F-1
f=1/F
F=1+1/F
Если заменить в правой части последнего равенства F самой правой частью, получим формулу для приближённого вычисления значения F.
Если в формуле F^2=F+1 извлечь корень из обеих частей получим F=√(F+1). Аналогично заменяя F из правой части на саму правую часть получим ещё одну формулу для вычисления F.
Это число получило название "Золотое" неслучайно. Оно действительно замечательное. Везде, где человек ощущает гармонию - в звуках, в цвете, в размерах, - всюду присутствует "Золотое число". Глаз радуется отрезку, разделенному не строго пополам, а именно в пропорции 0,618:0,382. Может, поэтому так часто находят золотое сечение в памятниках античной архитектуры, в пропорциях идеальных человеческих фигур, вылепленных великими Фидием и Поликлетом, в классических музыкальных произведениях (еще пифагорейцы заметили, что музыкальный звукоряд построен по закону частот, равных "золотому числу"), живописи, поэзии, формах скрипок Страдивари, а также в природе – химии, ботанике, зоологии...
Золотое сечение можно найти, рассматривая некоторые геометрические фигуры.
Пятиконечная звезда, получаемая при последовательном соединении через одну всех вершин правильного пятиугольника (пентаграмма), всегда привлекала внимание людей совершенством формы. Пифагорейцы именно ее выбрали символом своего союза. В этой фигуре наблюдается удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков.
Соразмерность, выражаемая числом Ф, по свидетельству многих исследователей, наиболее приятна для глаза. Леонардо да Винчи считал, что идеальные пропорции человеческого тела должны быть связаны с числом Ф. Именно он назвал деление отрезка в отношении Ф золотым сечением. Этот термин сохранился до наших дней. В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к Ф. А выбирая размеры самой картины, старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось Ф. Такой прямоугольник стали называть "золотым". Если от "золотого прямоугольника" отрезать квадрат, то опять получится "золотой прямоугольник"; так можно продолжать до бесконечности.
Есть и "золотой кубоид" - это прямоугольный параллелепипед с ребрами Ф (1,618...), 1 и ф (0,618...). Площадь его поверхности равна 4Ф, а диагональ - 2. Отсюда следует, что описанная вокруг него сфера имеет радиус 1, и, значит, ее площадь равна 4p. Поэтому отношение поверхности этой сферы к поверхности "золотого кубоида" равно p:Ф.
Представление о золотом сечении и "золотых" фигурах будет неполным, если не сказать о спирали. Если посмотреть на раковину улитки, можно заметить, что она закручена по очень красивой спирали, которая близка к так называемой логарифмической спирали. Логарифмическая спираль в полярных координатах описывается уравнением r=aw, где r - расстояние от точки до полюса, w - угол поворота, a - некоторая константа. Графическое приближение "золотой спирали" можно построить, соединив дугами точки квадратов, отсеченных от золотого прямоугольника при построении новых золотых прямоугольников.
|
| |
| |
|
|
