 |
Понедельник
20.05.2024
11:28 |
|
|
|
Приветствую Вас Гость | RSS
Главная | Регистрация | Вход |
| Дистанционная помощь по математике |
|
Какими бывают числа? Множества чисел.
| |
| ecc | Дата: Суббота, 24.06.2017, 17:48 | Сообщение # 1 |
 Ранг 6
Группа: Администраторы
Сообщений: 76
Награды: 0
Репутация: 9
Статус: Offline
| 1) Первые числа, известные нам еще с дошкольного возраста - натуральные, или те, которые используют для счета. Множество обозначается N={1,2,3,…}. Для более научного определения нужно всего 2 понятия:
а) единица - натуральное число;
б) любое число, которое можно представить в виде суммы единиц - тоже натуральное число.
И ученые в древности довольствовались только этими числами, полностью используя лишь операции сложения и умножения.
Операции вычитания и деления выдавали "некорректные" результаты: в натуральных числах не получится вычесть из меньшего числа большее (и даже равное, ведь 0 не натуральное число), а как записать, сколько каждому из двух людей достанется при делении одного яблока, было неизвестно по одной причине. Современное представление о числах как о точках на координатной прямой возникло относительно недавно. До этого момента числа представляли как количество вещей. По-этому, деля одно яблоко на двух людей, получалось 2 самостоятельные вещи. Это не укладывалось в головах людей древности. Возникла потребность в новом виде чисел.
|
| |
| |
| ecc | Дата: Суббота, 24.06.2017, 18:35 | Сообщение # 2 |
|
Ранг 6
Группа: Администраторы
Сообщений: 76
Награды: 0
Репутация: 9
Статус: Offline
| 2) Общество развивалось, появилась потребность описывать долги. Для этого было придумано множество целых чисел. Целые числа − включают в себя натуральные числа, числа противоположные натуральным (т.е. с отрицательным знаком) и ноль.
Целые положительные числа:
Z+=N={1,2,3,…}
Целые отрицательные числа:
Z−={…,−3,−2,−1}
Z=Z−∪{0}∪Z+={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
Теперь у людей появилась возможность полностью использовать операцию вычитания, но операция деления была по-прежнему ограничена.
|
| |
| |
| ecc | Дата: Воскресенье, 25.06.2017, 07:30 | Сообщение # 3 |
|
Ранг 6
Группа: Администраторы
Сообщений: 76
Награды: 0
Репутация: 9
Статус: Offline
| 3) Чтобы полноценно использовать операцию деления, были придуманы рациональные числа. Рациональные числа − числа, представляемые в виде обыкновенной дроби a/b, где a - натуральное, b − целое число.
Q={x∣x=a/b,a∈N,b∈Z}.
При переводе в десятичную дробь рациональное число представляется конечной или бесконечной периодической дробью.
С открытием Теоремы Пифагора появились новые трудности. Еще до самого Пифагора знали, что в прямоугольнике со сторонами 3 и 4 диагональ равна 5. Но как найти диагональ квадрата со стороной 1?
Однажды Пифагор задал своим ученикам в качестве домашнего задания найти это число (естественно, среди рациональных чисел). Другими словами, решить уравнение х2=2. Все получили приближенные выражения (3/2, 7/5 и так далее) кроме одного ученика. Он предположил, что такого числа среди дробей нет и оно иного вида. Потом, если верить легенде, Пифагор приказал утопить этого ученика, чтобы не распространял ересь. Да, в древности люди не любили, а иногда боялись, всё новое.
|
| |
| |
| ecc | Дата: Воскресенье, 25.06.2017, 07:50 | Сообщение # 4 |
|
Ранг 6
Группа: Администраторы
Сообщений: 76
Награды: 0
Репутация: 9
Статус: Offline
| 4) Действительно, разместив на координатной прямой все рациональные числа, мы обнаружим "пробелы". Эти пробелы называются множеством иррациональных чисел. Иррациональные числа − числа, которые нельзя представить в виде обычной дроби, где числитель - натуральное число, а знаменатель - целое (или те, которые представляются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби).
Такие числа представляются через более сложные математические операции: алгебраические корни, логарифмы, тригонометрические функции (кстати, вся наука "тригонометрия" основывается на единственной теореме - теореме Пифагора) и других функций, а так же их комбинаций.
Другие известные иррациональные числа: Число Пи и Число Эйлера.
Число Пи – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,141592653589793238462643... Обозначается греческой буквой - П. e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число называют числом Эйлераили числом Непера.
Золотое сечение - также иррациональное число, о котором Вы можете прочитать здесь.
|
| |
| |
| ecc | Дата: Воскресенье, 25.06.2017, 08:12 | Сообщение # 5 |
|
Ранг 6
Группа: Администраторы
Сообщений: 76
Награды: 0
Репутация: 9
Статус: Offline
| 5) Теперь на координатной прямой не осталось "дыр". Все эти числа называются действительными. Действительные (вещественные) числа − объединение рациональных и иррациональных чисел: R.
Стоит отметить, что выполняется N⊂Z⊂Q⊂R⊂C .
Так, что еще за комплексные? Взглянем сюда:
Если Пифагор приказал утопить ученика при упоминании, что есть числа, которые не записываются дробями, при виде знака i он бы поджег свою школу. Будем разбираться...
|
| |
| |
| ecc | Дата: Воскресенье, 25.06.2017, 08:20 | Сообщение # 6 |
|
Ранг 6
Группа: Администраторы
Сообщений: 76
Награды: 0
Репутация: 9
Статус: Offline
| В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводиткомплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.
Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.
Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
 .
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой  и параболы 
Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:
Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.
В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).
Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.
Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду:  . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:
где
 .
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?
Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.
Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
 .
Внезапно,
 ,
и, соответственно,
 .
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.
Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.
Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
 ,
и
 .
Если попробуем возвести правую часть в третью степень получим левую.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.
В сумме получаем  . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.
Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.
Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение  для мнимой единицы) знаменитой формулы
открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.Последняя статья честно стырена отсюда.
|
| |
| |
|
|
